Reviews
User Score
Rate This
Descriptions:
Выделение полного квадрата и построение графика квадратичной функции
1. Выделение полного квадрата
Чтобы построить график квадратичной функции, нам нужно привести ее к каноническому виду, то есть выделить полный квадрат:
y = ax² + bx + c -> y = a(x – h)² + k
Как это сделать:
- Вынесите общий множитель “a” из первых двух членов:
y = a(x² + (b/a)x) + c
- Дополните выражение в скобках до полного квадрата:
- Внутри скобок у нас есть (b/a)x.
- Делим этот коэффициент на 2: (b/a) / 2 = b/2a
- Возводим полученное значение в квадрат: (b/2a)² = b²/4a²
- Добавляем и вычитаем это значение внутри скобок:
y = a(x² + (b/a)x + b²/4a² – b²/4a²) + c
- Перегруппируйте члены:
y = a[(x + b/2a)² – b²/4a²] + c
- Раскройте скобки и упростите:
y = a(x + b/2a)² – ab²/4a² + c y = a(x + b/2a)² – b²/4a + c
Теперь функция приведена к каноническому виду:
y = a(x – h)² + k, где:
- h = -b/2a – координата вершины по оси x
- k = -b²/4a + c – координата вершины по оси y
2. Построение графика
a) Найдите вершину:
- x-координата вершины: h = -b/2a
- y-координата вершины: k = -b²/4a + c
b) Найдите точки пересечения с осью y:
- Подставьте x = 0 в уравнение функции и получите значение y. Это будет точка пересечения с осью y.
c) Найдите точки пересечения с осью x:
- Решите уравнение y = 0 относительно x.
- В некоторых случаях найти точные значения x может быть сложно. Тогда можно использовать приближенное решение, например, с помощью графика.
d) Используя полученные точки и форму канонического вида, нарисуйте параболу:
- Если a > 0, парабола направлена вверх.
- Если a < 0, парабола направлена вниз.
Пример:
Постройте график функции y = 2x² – 8x + 5
1. Выделение полного квадрата:
- y = 2(x² – 4x) + 5
- y = 2(x² – 4x + 4 – 4) + 5
- y = 2[(x – 2)² – 4] + 5
- y = 2(x – 2)² – 8 + 5
- y = 2(x – 2)² – 3
2. Построение графика:
- Вершина: (h, k) = (2, -3)
- Пересечение с осью y: x = 0, y = 5. Точка (0, 5).
- Пересечение с осью x: y = 0, 2(x – 2)² – 3 = 0. Решая это уравнение, получим приближенные значения x: x ≈ 0.5 и x ≈ 3.5.
Нарисуйте параболу, проходящую через найденные точки, с вершиной в (2, -3).
Важно:
- После того, как вы выделен полный квадрат, вам не нужно решать уравнение y = 0 для нахождения точек пересечения с осью x. Достаточно взглянуть на значение k и понять, как парабола располагается относительно оси x.
- Используйте online-инструменты для построения графиков, чтобы проверить свои результаты.
